$0 \leq \theta < \pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\cos 2\theta + \cos 4\theta + \cos 6\theta + \cos 8\theta = 0$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < \pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\cos 2\theta + \cos 4\theta + \cos 6\theta + \cos 8\theta = 0$

2. 解き方の手順

まず、三角関数の和積の公式を利用して、方程式を簡単にする。

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

この公式を $\cos 2\theta + \cos 8\theta$ と $\cos 4\theta + \cos 6\theta$ に適用する。

$\cos 2\theta + \cos 8\theta = 2\cos\frac{2\theta+8\theta}{2}\cos\frac{2\theta-8\theta}{2} = 2\cos 5\theta\cos(-3\theta) = 2\cos 5\theta\cos 3\theta$

$\cos 4\theta + \cos 6\theta = 2\cos\frac{4\theta+6\theta}{2}\cos\frac{4\theta-6\theta}{2} = 2\cos 5\theta\cos(-\theta) = 2\cos 5\theta\cos \theta$

したがって、元の方程式は

$2\cos 5\theta\cos 3\theta + 2\cos 5\theta\cos \theta = 0$

$2\cos 5\theta(\cos 3\theta + \cos \theta) = 0$

再び和積の公式を $\cos 3\theta + \cos \theta$ に適用する。

$\cos 3\theta + \cos \theta = 2\cos\frac{3\theta+\theta}{2}\cos\frac{3\theta-\theta}{2} = 2\cos 2\theta\cos \theta$

したがって、方程式は

$2\cos 5\theta(2\cos 2\theta\cos \theta) = 0$

$4\cos \theta\cos 2\theta\cos 5\theta = 0$

したがって、解は $\cos \theta = 0$, $\cos 2\theta = 0$, $\cos 5\theta = 0$ を満たす $\theta$ である。

$\cos \theta = 0$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$\cos 2\theta = 0$ より、$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$　すなわち、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\cos 5\theta = 0$ より、$5\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$　すなわち、$\theta = \frac{\pi}{10}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{9\pi}{10}$

これらの解を合わせると、$\theta = \frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{10}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{10}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{10}$