(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ の概形を描き、$x$軸とこの曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$ の概形を描き、$x$軸とこの曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ の概形を描き、$x$軸とこの曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$ の概形を描き、$x$軸とこの曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(a) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

まず、$y$ を因数分解する。

$y = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$

よって、$y=0$ となるのは $x=1$ または $x=-1$ のとき。

$y$ は常に0以上である。

$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)$

$y' = 0$ となるのは $x=-1, 0, 1$ のとき。

$x < -1$ のとき、$y' < 0$

$-1 < x < 0$ のとき、$y' > 0$

$0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$

$x > 1$ のとき、$y' > 0$

したがって、$x=-1, 1$ で極小値0、$x=0$ で極大値1をとる。

$S = \int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx = 2 \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx = 2[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x]_0^1 = 2(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) = 2(\frac{3-10+15}{15}) = 2(\frac{8}{15}) = \frac{16}{15}$

(b) $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3$

$y = x^3(\frac{1}{4}x - 1)$

$y = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = 4$ のとき。

$y' = x^3 - 3x^2 = x^2(x-3)$

$y' = 0$ となるのは $x=0, 3$ のとき。

$x < 0$ のとき、$y' < 0$

$0 < x < 3$ のとき、$y' < 0$

$x > 3$ のとき、$y' > 0$

したがって、$x=3$ で極小値をとる。

$x=3$ のとき、$y = \frac{1}{4}(3^4) - 3^3 = \frac{81}{4} - 27 = \frac{81-108}{4} = -\frac{27}{4}$

$S = \left| \int_{0}^{4} (\frac{1}{4}x^4 - x^3) dx \right| = \left| [\frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{4}x^4]_0^4 \right| = \left| \frac{1}{20}(4^5) - \frac{1}{4}(4^4) \right| = \left| \frac{1024}{20} - \frac{256}{4} \right| = \left| \frac{256}{5} - 64 \right| = \left| \frac{256 - 320}{5} \right| = \left| -\frac{64}{5} \right| = \frac{64}{5}$

3. 最終的な答え

(a) $S = \frac{16}{15}$

(b) $S = \frac{64}{5}$