## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題は以下の通りです。

1. 逆三角関数の値を求める問題（3問）

2. 極限を求める問題（5問）

3. 関数の導関数を求める問題（5問）

4. 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題（2問）

* 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

* $f(x)$ の極値を求める。

5. 積分を計算する問題（5問）

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2. 解き方の手順と答え

画像の問題全てを解くのは大変なので、いくつかピックアップして解法を示します。

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1. (1) $\sin^{-1} \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。逆三角関数は主値を求めるので、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えます。

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ なので、$\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$です。

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1. (2) $\cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。逆三角関数は主値を求めるので、$0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で考えます。

$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ なので、$\cos^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$です。

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2. (1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$

分子を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1)$

$x \to 1$ のとき、$2x + 1 \to 2(1) + 1 = 3$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1} = 3$

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2. (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$

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3. (1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

$y = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$ と書き換えます。

$y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}) = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

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4. (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式

$f(x) = e^{-x^2}$なので、$f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

接線の傾きを求めるために、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2(1)e^{-1^2} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

点 $(1, \frac{1}{e})$ における接線の方程式は、

$y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{2}{e} + \frac{1}{e}$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

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5. (2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

$x = 2\sin \theta$ と置換すると、$dx = 2\cos \theta d\theta$

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - 4\sin^2 \theta}} (2\cos \theta) d\theta = \int \frac{2\cos \theta}{\sqrt{4(1 - \sin^2 \theta)}} d\theta$

$= \int \frac{2\cos \theta}{2\cos \theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C = \arcsin \frac{x}{2} + C$

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3. 最終的な答え

上記の解いた問題の答えは以下の通りです。

1. (1) $\frac{\pi}{6}$

2. (2) $\frac{2\pi}{3}$

3. (1) $3$

4. (4) $4$

5. (1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

6. (1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

7. (2) $\arcsin \frac{x}{2} + C$