次の不定積分を計算します。 $\int \frac{x^3 + 9x + 2}{x^3 + 8} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{x^3 + 9x + 2}{x^3 + 8} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{x^3 + 9x + 2}{x^3 + 8} = \frac{x^3 + 8 + 9x - 6}{x^3 + 8} = 1 + \frac{9x - 6}{x^3 + 8}$

次に、$x^3 + 8$ を因数分解します。

$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

したがって、部分分数分解を行うと、

$\frac{9x - 6}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx + C}{x^2 - 2x + 4}$

両辺に $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$ をかけると、

$9x - 6 = A(x^2 - 2x + 4) + (Bx + C)(x+2)$

$9x - 6 = Ax^2 - 2Ax + 4A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$

$9x - 6 = (A+B)x^2 + (-2A + 2B + C)x + (4A + 2C)$

係数を比較して、

$A + B = 0$

$-2A + 2B + C = 9$

$4A + 2C = -6$

これらの式を解くと、$A = -2$, $B = 2$, $C = 1$ となります。

したがって、

$\frac{9x - 6}{x^3 + 8} = \frac{-2}{x+2} + \frac{2x + 1}{x^2 - 2x + 4}$

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^3 + 9x + 2}{x^3 + 8} dx = \int (1 + \frac{-2}{x+2} + \frac{2x + 1}{x^2 - 2x + 4}) dx$

$= \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{x+2} dx + \int \frac{2x + 1}{x^2 - 2x + 4} dx$

$= x - 2 \ln |x+2| + \int \frac{2x - 2 + 3}{x^2 - 2x + 4} dx$

$= x - 2 \ln |x+2| + \int \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 4} dx + 3 \int \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx$

$= x - 2 \ln |x+2| + \ln |x^2 - 2x + 4| + 3 \int \frac{1}{(x-1)^2 + 3} dx$

ここで、$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$3 \int \frac{1}{(x-1)^2 + 3} dx = 3 \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \tan^2 \theta + 3} d\theta = \sqrt{3} \int d\theta = \sqrt{3} \theta + C = \sqrt{3} \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C$

したがって、

$\int \frac{x^3 + 9x + 2}{x^3 + 8} dx = x - 2 \ln |x+2| + \ln |x^2 - 2x + 4| + \sqrt{3} \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$x - 2 \ln |x+2| + \ln |x^2 - 2x + 4| + \sqrt{3} \arctan(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C$