広義積分 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx$ について以下の問いに答える。 (1) 広義積分 $I$ が収束することを証明する。 (2) $x = 2t$ とおいて置換積分することにより、$I = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2I$ が成り立つことを証明する。また、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos x) dx$ とも表される理由を述べる。 (3) 広義積分 $I$ の値を求める。

1. 問題の内容

広義積分 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx$ について以下の問いに答える。

(1) 広義積分 $I$ が収束することを証明する。

(2) $x = 2t$ とおいて置換積分することにより、$I = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2I$ が成り立つことを証明する。また、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos x) dx$ とも表される理由を述べる。

(3) 広義積分 $I$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 広義積分の収束性の証明

$\sin x$ は $x=0$ で $0$ になるので、$\log(\sin x)$ は $x=0$ で発散する。

したがって、広義積分となる。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ で $\sin x \sim x$ なので、$\log(\sin x) \sim \log x$ である。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log x dx$ が収束することを示せば良い。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^{\frac{\pi}{2}} \log x dx = \lim_{\epsilon \to 0} [x\log x - x]_\epsilon^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - \lim_{\epsilon \to 0} (\epsilon \log \epsilon - \epsilon)$

$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon \log \epsilon = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\log \epsilon}{1/\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1/\epsilon}{-1/\epsilon^2} = \lim_{\epsilon \to 0} (-\epsilon) = 0$

したがって、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log x dx$ は収束する。よって、$I$ も収束する。

(2) 置換積分の計算とヒントの理由

$x = 2t$ とおくと、$dx = 2dt$ であり、積分範囲は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t: 0 \to \frac{\pi}{4}$ となる。

したがって、

$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin 2t) 2dt = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(2\sin t \cos t) dt$

$= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 + \log(\sin t) + \log(\cos t)) dt = 2\log 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} dt + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin t) dt + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos t) dt$

$= 2\log 2 [\frac{\pi}{4}] + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin t) dt + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos t) dt = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin t) dt + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos t) dt$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\cos (\frac{\pi}{2} - x)) dx$

$u = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$du = -dx$ であり、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して、$u: \frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log (\cos (\frac{\pi}{2} - x)) dx = -\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \log(\cos u) du = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos u) du = I$

また、

$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos x) dx$

(3) 広義積分の値の計算

$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx$

$x = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$dx = -dt$ であり、$x: \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t: \frac{\pi}{4} \to 0$ となる。

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx = -\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \log(\sin(\frac{\pi}{2} - t)) dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos t) dt$

$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin x) dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos x) dx$

よって、

$I = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin t) dt + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos t) dt = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2I$

$I - 2I = \frac{\pi}{2} \log 2$

$-I = \frac{\pi}{2} \log 2$

$I = -\frac{\pi}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

(1) 広義積分 $I$ は収束する。

(2) $I = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\sin x) dx + 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(\cos x) dx$ となる。$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos x) dx$

(3) $I = -\frac{\pi}{2} \log 2$