摩擦係数 $w(x,y) = 1 + \alpha y$ が与えられているとき、曲線 $C$ に沿って物体を移動させたときの発生熱量を線積分 $\int_C w(x,y) ds$ によって計算する問題です。ここで、$\alpha$ は定数です。 (1) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合 (2) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_2(2,2)$ を通り点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合 について、それぞれ上記積分を計算します。

1. 問題の内容

摩擦係数 $w(x,y) = 1 + \alpha y$ が与えられているとき、曲線 $C$ に沿って物体を移動させたときの発生熱量を線積分 $\int_C w(x,y) ds$ によって計算する問題です。ここで、$\alpha$ は定数です。

(1) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合

(2) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_2(2,2)$ を通り点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合

について、それぞれ上記積分を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合：

この経路は $x=0$ 上の線分なので、パラメータ表示は $x(t) = 0, y(t) = t, 0 \le t \le 1$ となります。

よって、$dx/dt = 0, dy/dt = 1$ であり、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = dt$ となります。

したがって、

$\int_C w(x,y) ds = \int_0^1 (1 + \alpha t) dt = [t + \frac{1}{2}\alpha t^2]_0^1 = 1 + \frac{1}{2}\alpha$

(2) 曲線 $C$ が原点 $O(0,0)$ から点 $P_2(2,2)$ を通り点 $P_1(0,1)$ に至る経路の場合：

この経路は2つの線分からなります。

最初の線分は原点 $O(0,0)$ から点 $P_2(2,2)$ に至る線分で、パラメータ表示は $x(t) = t, y(t) = t, 0 \le t \le 2$ となります。

$dx/dt = 1, dy/dt = 1$ であり、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = \sqrt{2} dt$ となります。

したがって、この線分における積分は

$\int_{C_1} w(x,y) ds = \int_0^2 (1 + \alpha t) \sqrt{2} dt = \sqrt{2} [t + \frac{1}{2}\alpha t^2]_0^2 = \sqrt{2} (2 + 2\alpha) = 2\sqrt{2}(1+\alpha)$

次の線分は点 $P_2(2,2)$ から点 $P_1(0,1)$ に至る線分です。パラメータ表示は $x(t) = 2-2t, y(t) = 2-t, 0 \le t \le 1$ となります。

$dx/dt = -2, dy/dt = -1$ であり、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = \sqrt{5} dt$ となります。

したがって、この線分における積分は

$\int_{C_2} w(x,y) ds = \int_0^1 (1 + \alpha (2-t)) \sqrt{5} dt = \sqrt{5} [t + \alpha(2t - \frac{1}{2}t^2)]_0^1 = \sqrt{5}(1 + \alpha(2 - \frac{1}{2})) = \sqrt{5}(1 + \frac{3}{2}\alpha)$

したがって、全体の積分は

$\int_C w(x,y) ds = \int_{C_1} w(x,y) ds + \int_{C_2} w(x,y) ds = 2\sqrt{2}(1+\alpha) + \sqrt{5}(1 + \frac{3}{2}\alpha) = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + (2\sqrt{2} + \frac{3}{2}\sqrt{5})\alpha$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \frac{1}{2}\alpha$

(2) $2\sqrt{2} + \sqrt{5} + (2\sqrt{2} + \frac{3}{2}\sqrt{5})\alpha$