$\int \sqrt{9 - x^2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{9 - x^2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a^2 - x^2}$ の形の積分なので、$x = a \sin \theta$ と置換する。ここでは $a = 3$ なので、$x = 3 \sin \theta$ と置換する。

すると、$dx = 3 \cos \theta d\theta$ となる。

また、$\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9 \sin^2 \theta} = \sqrt{9(1 - \sin^2 \theta)} = \sqrt{9 \cos^2 \theta} = 3 \cos \theta$ となる。

したがって、

$\int \sqrt{9 - x^2} dx = \int 3 \cos \theta \cdot 3 \cos \theta d\theta = 9 \int \cos^2 \theta d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ より、

$9 \int \cos^2 \theta d\theta = 9 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{9}{2} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{9}{2} (\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ より、

$\frac{9}{2} (\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = \frac{9}{2} (\theta + \sin \theta \cos \theta) + C$

$x = 3 \sin \theta$ より、$\sin \theta = \frac{x}{3}$ なので、$\theta = \arcsin \frac{x}{3}$。

$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{x}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} = \sqrt{\frac{9 - x^2}{9}} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$

したがって、

$\frac{9}{2} (\theta + \sin \theta \cos \theta) + C = \frac{9}{2} (\arcsin \frac{x}{3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}) + C = \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + C$