(1) 全ての自然数 $n$ に対して、$x \geq 0$ のとき、$e^x > \frac{x^n}{n!}$ が成り立つことを、$n$ に関する数学的帰納法で示す。 (2) 関数 $f(x) = x^{n-1}e^{-x}$ について、$\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 全ての自然数 $n$ に対して、$x \geq 0$ のとき、$e^x > \frac{x^n}{n!}$ が成り立つことを、$n$ に関する数学的帰納法で示す。

(2) 関数 $f(x) = x^{n-1}e^{-x}$ について、$\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法による証明

* (i) $n = 1$ のとき:

$e^x > \frac{x^1}{1!} = x$。 $x \geq 0$ であれば、$e^x > x$ は常に成立する。例えば、$e^0=1>0$ であり、$e^x$ は常に増加関数であり、$x$ も増加関数だが、$e^x$ の方が増加率が大きいからである。

* (ii) $n = k$ のとき、$e^x > \frac{x^k}{k!}$ が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のとき、$e^x > \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ を示す。

$e^x > \frac{x^k}{k!}$ の両辺に $x \geq 0$ を掛けると、$xe^x > \frac{x^{k+1}}{k!}$ となる。

ここで、$e^x > \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ を示すために、$g(x) = e^x - \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ を考える。

$g(0) = e^0 - \frac{0^{k+1}}{(k+1)!} = 1 > 0$。

$g'(x) = e^x - \frac{(k+1)x^k}{(k+1)!} = e^x - \frac{x^k}{k!}$

帰納法の仮定より、$e^x > \frac{x^k}{k!}$ なので、$g'(x) > 0$ である。

したがって、$g(x)$ は増加関数であり、$g(0) > 0$ より、$x \geq 0$ で $g(x) > 0$ である。

よって、$e^x > \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、$e^x > \frac{x^n}{n!}$ が全ての自然数 $n$ に対して成り立つことが示された。

(2) 極限の計算

$f(x) = x^{n-1}e^{-x} = \frac{x^{n-1}}{e^x}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}$

(1)の結果より、$e^x > \frac{x^n}{n!}$なので、$0 < \frac{x^{n-1}}{e^x} < \frac{x^{n-1}}{\frac{x^n}{n!}} = \frac{n!}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{n!}{x} = 0$

よって、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 証明完了

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$