定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を三角関数を使って置換積分します。

$x = \sqrt{2}\sin\theta$ と置くと、$dx = \sqrt{2}\cos\theta d\theta$ となります。

また、$x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=1$ のとき $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、

\begin{align*}

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2-2\sin^2\theta}} \sqrt{2}\cos\theta d\theta \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2\theta}} d\theta \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{\cos\theta} d\theta \\

&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\

&= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\

&= \frac{\pi}{4} - 0 \\

&= \frac{\pi}{4}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$