定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2-x^2}$ の形から、$x = \sqrt{2} \sin \theta$ と置換することを考えます。

このとき、$dx = \sqrt{2} \cos \theta d\theta$ となります。

積分範囲を考えます。

$x=0$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 0$ より $\sin \theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sqrt{2} \sin \theta = 1$ より $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2 - 2\sin^2 \theta}} \sqrt{2} \cos \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2(1 - \sin^2 \theta)}} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2} \sqrt{\cos^2 \theta}} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\sqrt{2} \cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$