与えられた関数 $y = x^2 \arctan(\sqrt{x^2 - 1})$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^2 \arctan(\sqrt{x^2 - 1})$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積の微分法を用います。積の微分法とは、$y = uv$ のとき $dy/dx = u'v + uv'$ となるものです。

この問題では、$u = x^2$、$v = \arctan(\sqrt{x^2 - 1})$ とおきます。

次に、$u' = \frac{du}{dx}$ と $v' = \frac{dv}{dx}$ をそれぞれ計算します。

$u = x^2$ なので、$u' = 2x$ となります。

$v = \arctan(\sqrt{x^2 - 1})$ については、合成関数の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$ であることと、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ であることを利用します。

まず、$\sqrt{x^2 - 1}$ の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

したがって、

$v' = \frac{1}{1+(\sqrt{x^2 - 1})^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{1+x^2-1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

積の微分法により、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x \arctan(\sqrt{x^2 - 1}) + x^2 \cdot \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} = 2x \arctan(\sqrt{x^2 - 1}) + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \arctan(\sqrt{x^2 - 1}) + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$