与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sin 3x \cos 4x \, dx$ (2) $\int e^{2x}(1-3x) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin 3x \cos 4x \, dx$

(2) $\int e^{2x}(1-3x) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin 3x \cos 4x \, dx$ を計算します。

三角関数の積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を用います。

$\sin 3x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin(3x+4x) + \sin(3x-4x)) = \frac{1}{2} (\sin 7x + \sin (-x)) = \frac{1}{2} (\sin 7x - \sin x)$

したがって、

$\int \sin 3x \cos 4x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 7x - \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x - \sin x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \sin 7x \, dx - \int \sin x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{7} \cos 7x + \cos x \right) + C = -\frac{1}{14} \cos 7x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(2) $\int e^{2x}(1-3x) \, dx$ を計算します。

部分積分法を用います。 $\int u v' \, dx = u v - \int u' v \, dx$

$u = 1-3x$, $v' = e^{2x}$ とすると、$u' = -3$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$

$\int e^{2x}(1-3x) \, dx = (1-3x) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int (-3) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} (1-3x) e^{2x} + \frac{3}{2} \int e^{2x} \, dx$

$= \frac{1}{2} (1-3x) e^{2x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{3}{2} x e^{2x} + \frac{3}{4} e^{2x} + C = \frac{5}{4} e^{2x} - \frac{3}{2} x e^{2x} + C = \left(\frac{5}{4} - \frac{3}{2} x\right) e^{2x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{14} \cos 7x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(2) $\left(\frac{5}{4} - \frac{3}{2} x\right) e^{2x} + C$