関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases} $ この関数が実数全体で連続となるように、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

この関数が実数全体で連続となるように、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が実数全体で連続であるためには、$x=0$ で連続である必要があります。$x=0$ で連続であるとは、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$

が成り立つことです。

まず、$f(0)$ を計算します。$x \ge 0$ の場合、$f(x) = x$ なので、$f(0) = 0$ です。

次に、右側極限 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ を計算します。$x \to 0^+$ のとき、$x > 0$ なので、$f(x) = x$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$

次に、左側極限 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ を計算します。$x \to 0^-$ のとき、$x < 0$ なので、$f(x) = -2x + a$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + a) = -2(0) + a = a$

連続であるためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。つまり、$0 = a$ です。

3. 最終的な答え

$a = 0$