関数 $f(x)$ が、$x > 0$ で定義されるとき、 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ の連続性を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$x > 0$ で定義されるとき、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$

の連続性を調べよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の連続性を調べるためには、まず極限を計算する必要があります。$x$ の値に応じて場合分けをして考えます。

(1) $0 < x < 1$ の場合:

$n \to \infty$ のとき、$x^{2n} \to 0$ および $x^{2n+1} \to 0$ となります。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \frac{0}{1+0} = 0$

(2) $x = 1$ の場合:

$x^{2n} = 1$ および $x^{2n+1} = 1$ となります。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(3) $x > 1$ の場合:

$x^{2n}$ が無限大に発散するので、$x^{2n}$ で分子と分母を割ります。

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} / x^{2n}}{(1+x^{2n}) / x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1/x^{2n} + 1} = \frac{x}{0+1} = x$

したがって、関数 $f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

1/2 & (x = 1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}$

次に、連続性を調べます。

(1) $0 < x < 1$ の範囲では、$f(x) = 0$ であり、定数関数なので連続です。

(2) $x > 1$ の範囲では、$f(x) = x$ であり、一次関数なので連続です。

(3) $x = 1$ における連続性を調べます。

左からの極限: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$

右からの極限: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$

関数値: $f(1) = 1/2$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)$ かつ $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$ であるため、$x = 1$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x > 0$ において、$x=1$ で不連続であり、それ以外の点で連続である。