与えられた8つの数式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt{48} \times \sqrt{54} \div \sqrt{8}$ (2) $\sqrt{75} \div \sqrt{15} \times \sqrt{125}$ (3) $\sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18}$ (4) $\sqrt{27} - 3\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{12}$ (5) $(\sqrt{5}+2)^2$ (6) $(3-2\sqrt{3})^2$ (7) $(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})$ (8) $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-3)$

1. 問題の内容

与えられた8つの数式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt{48} \times \sqrt{54} \div \sqrt{8}$

(2) $\sqrt{75} \div \sqrt{15} \times \sqrt{125}$

(3) $\sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18}$

(4) $\sqrt{27} - 3\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{12}$

(5) $(\sqrt{5}+2)^2$

(6) $(3-2\sqrt{3})^2$

(7) $(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})$

(8) $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-3)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

(1) $\sqrt{48} \times \sqrt{54} \div \sqrt{8}$

まず、各ルートを簡単にします。

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

与式に代入すると、

$4\sqrt{3} \times 3\sqrt{6} \div 2\sqrt{2} = 12\sqrt{18} \div 2\sqrt{2} = 6\sqrt{9} = 6 \times 3 = 18$

(2) $\sqrt{75} \div \sqrt{15} \times \sqrt{125}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{15}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$

与式に代入すると、

$5\sqrt{3} \div \sqrt{15} \times 5\sqrt{5} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \times 5\sqrt{5} = \frac{5\sqrt{3} \times 5\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{25\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = 25$

(3) $\sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18}$

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

与式に代入すると、

$2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2-1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{27} - 3\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{12}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

与式に代入すると、

$3\sqrt{3} - 3(2\sqrt{2}) + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{3} = (3-2)\sqrt{3} + (-6+5)\sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{5}+2)^2$

$(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(2) + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

(6) $(3-2\sqrt{3})^2$

$(3-2\sqrt{3})^2 = 3^2 - 2(3)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 9 - 12\sqrt{3} + 4(3) = 9 - 12\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\sqrt{3}$

(7) $(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{6})^2 = 11 - 6 = 5$

(8) $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-3)$

$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-3) = (\sqrt{7})^2 - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 6 = 7 - \sqrt{7} - 6 = 1 - \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) 18

(2) 25

(3) $4\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(5) $9 + 4\sqrt{5}$

(6) $21 - 12\sqrt{3}$

(7) 5

(8) $1 - \sqrt{7}$