xに関する3つの不等式 $\frac{2x+1}{3} \ge \frac{9x-2}{12} - \frac{x+5}{4}$ (1) $2x+6 > \sqrt{7}x$ (2) $ax-a < a^2$ (3) があります。ただし、$a$は0ではありません。 (1) 不等式(1)を解け。 (2) 不等式(1)、(2)をともに満たす整数$x$は全部で何個あるか。 (3) 不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数$x$がちょうど11個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

xに関する3つの不等式

$\frac{2x+1}{3} \ge \frac{9x-2}{12} - \frac{x+5}{4}$ (1)

$2x+6 > \sqrt{7}x$ (2)

$ax-a < a^2$ (3)

があります。ただし、$a$は0ではありません。

(1) 不等式(1)を解け。

(2) 不等式(1)、(2)をともに満たす整数$x$は全部で何個あるか。

(3) 不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数$x$がちょうど11個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く。

まず、不等式(1)を整理します。

$\frac{2x+1}{3} \ge \frac{9x-2}{12} - \frac{x+5}{4}$

両辺に12を掛けると、

$4(2x+1) \ge (9x-2) - 3(x+5)$

$8x+4 \ge 9x-2-3x-15$

$8x+4 \ge 6x-17$

$2x \ge -21$

$x \ge -\frac{21}{2}$

$x \ge -10.5$

(2) 不等式(2)を解く。

$2x+6 > \sqrt{7}x$

$(2 - \sqrt{7}/2)x > -6$

$(2 - \sqrt{7}/2) \approx 2 - 1.32 = 0.68$. (間違っている)

$(2-\sqrt{7})x > -6$

$x < \frac{-6}{2-\sqrt{7}}$

$x < \frac{-6(2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})} = \frac{-6(2+\sqrt{7})}{4-7} = \frac{-6(2+\sqrt{7})}{-3} = 2(2+\sqrt{7}) = 4+2\sqrt{7}$

$2\sqrt{7} \approx 2 \times 2.65 = 5.3$, so $4 + 2\sqrt{7} \approx 9.3$.

整数$x$は、$x < 4+2\sqrt{7} \approx 9.3$

不等式(1)と(2)を同時に満たす整数$x$は、$x \ge -10.5$ かつ $x < 4+2\sqrt{7} \approx 9.3$ ですから、

$-10 \le x \le 9$

整数$x$の個数は $9 - (-10) + 1 = 20$ 個です。

(3) 不等式(3)を解く。

$ax-a < a^2$

$ax < a^2 + a$

$ax < a(a+1)$

$a > 0$のとき、$x < a+1$

$a < 0$のとき、$x > a+1$

不等式(1)、(2)、(3)をすべて満たす整数xが11個となるようなaの値の範囲を求めます。

(1) $a>0$ のとき、$x \ge -10.5$, $x < 4+2\sqrt{7} \approx 9.3$, $x < a+1$

$-10 \le x \le 9$の整数の中で、$x < a+1$となるものが11個となるためには、-10, -9, ..., 0 が含まれている必要がある。

(2) $a<0$ のとき、$x \ge -10.5$, $x < 4+2\sqrt{7} \approx 9.3$, $x > a+1$

$-10 \le x \le 9$の整数の中で、$x > a+1$となるものが11個となるためには、9, 8, ..., -1 が含まれている必要がある。

$x \ge -10.5$, $x < 4+2\sqrt{7}$を満たす整数は-10から9までの20個。

$x < a+1$ を満たすものが11個となる時、$a>0$なので、-10, -9, ..., 0 の11個が条件を満たさなくてはならない。0 < a+1 かつ -10 < a+1

よって、$\{-10, -9, \cdots, -10+10 \} = \{ -10, -9, \cdots 0 \}$

$x < a+1$を満たす11個の整数が必要なので、

-10から9までの中で、$x \ge a+1$となるものが$20-11=9$個あれば良い

9個存在するためには、$x \ge 1$となればよいので、$a+1 \le 1$となる。

$a \le 0$となるが、$a<0$なので、$a<0$。しかし$x \ge a+1$なので-10, -9, -8, ...の9個になるためには、$x=1$より大きくなれば良い

3. 最終的な答え

(1) $x \ge -10.5$

(2) 20 個

(3) $-1 < a \le 0$