$x+y = \sqrt{5}$ かつ $xy = 1$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (3) $x^3 + y^3$ (4) $x^5 + y^5$

1. 問題の内容

$x+y = \sqrt{5}$ かつ $xy = 1$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(3) $x^3 + y^3$

(4) $x^5 + y^5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ について:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ であるから、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ が成り立つ。

$x+y = \sqrt{5}$ および $xy = 1$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(1) = 5 - 2 = 3$

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ について:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$ である。

$x+y = \sqrt{5}$ および $xy = 1$ を代入すると、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$

(3) $x^3 + y^3$ について:

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ が成り立つ。

(1)より、$x^2 + y^2 = 3$ であり、$xy = 1$ であるから、

$x^3 + y^3 = (\sqrt{5})(3 - 1) = 2\sqrt{5}$

(4) $x^5 + y^5$ について:

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^3 - x^3y^2 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^2(x+y)$が成り立つ。

(1)より、$x^2 + y^2 = 3$、(3)より、$x^3 + y^3 = 2\sqrt{5}$ であり、$xy = 1$、$x+y=\sqrt{5}$ を代入すると、

$x^5 + y^5 = (3)(2\sqrt{5}) - (1)^2(\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 3$

(2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{5}$

(3) $x^3 + y^3 = 2\sqrt{5}$

(4) $x^5 + y^5 = 5\sqrt{5}$