実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの無限級数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots$

が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの無限級数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数です。

等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことです。

したがって、

$|\frac{1}{1+x-x^2}| < 1$

となる $x$ の範囲を求めます。

これは、

$-1 < \frac{1}{1+x-x^2} < 1$

と同値です。

まず、$\frac{1}{1+x-x^2} > -1$ より、

$\frac{1}{1+x-x^2} + 1 > 0$

$\frac{2+x-x^2}{1+x-x^2} > 0$

$\frac{(2-x)(1+x)}{1+x-x^2} > 0$

次に、$\frac{1}{1+x-x^2} < 1$ より、

$\frac{1}{1+x-x^2} - 1 < 0$

$\frac{1 - (1+x-x^2)}{1+x-x^2} < 0$

$\frac{x^2-x}{1+x-x^2} < 0$

$\frac{x(x-1)}{1+x-x^2} < 0$

$1+x-x^2 = 0$ を解くと、

$x^2-x-1 = 0$ より、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、$1+x-x^2 = -(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})$ となります。

$1+x-x^2 > 0$ となるのは、$\frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のときです。

$1+x-x^2 < 0$ となるのは、$x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のときです。

$\frac{(2-x)(1+x)}{1+x-x^2} > 0$ かつ $\frac{x(x-1)}{1+x-x^2} < 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

ただし、$x \ne 0$ と $x \ne 1$ と $x \ne -1$ と $x \ne 2$が必要です。

$1+x-x^2>0$のとき，$\frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$(2-x)(1+x)>0$ かつ $x(x-1)<0$なので，

$-1 < x < 2$ かつ $0 < x < 1$．

したがって，$0 < x < 1$．

$1+x-x^2<0$のとき，$x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$(2-x)(1+x)<0$ かつ $x(x-1)>0$なので，

$x < -1$ または $x > 2$ かつ ($x<0$ または $x>1$)．

したがって，$x<-1$ または $x>2$．

したがって、収束する $x$ の範囲は、$x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ です。

このとき、等比級数の和は

$\frac{x}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$

ただし、$x \ne 0$ でないといけないことに注意すると、$0$でない任意の$x$に対して成り立つ．

3. 最終的な答え

収束する $x$ の範囲: $x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$

無限級数の和: $\frac{1+x-x^2}{1-x}$