与えられた三角関数の値を計算し、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ のときの6つの三角関数の値と、三角関数の差を積の形で表す問題です。具体的には以下の問題を解きます。 (1) $\sin \frac{3}{4} \pi$ の値を求めます。 (2) $\cos \frac{7}{6} \pi$ の値を求めます。 (3) $\tan \frac{2}{3} \pi$ の値を求めます。 (4) $\sec \frac{\pi}{4}$ の値を求めます。 (5) $\csc (-\frac{\pi}{3})$ の値を求めます。 (6) $\cot \frac{\pi}{6}$ の値を求めます。 (7) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$\cot \theta$ の値を求めます。 (8) $\sin(x+h) - \sin x$ を三角関数の積の形で表します。 (9) $\cos(x+h) - \cos x$ を三角関数の積の形で表します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を計算し、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ のときの6つの三角関数の値と、三角関数の差を積の形で表す問題です。具体的には以下の問題を解きます。

(1) $\sin \frac{3}{4} \pi$ の値を求めます。

(2) $\cos \frac{7}{6} \pi$ の値を求めます。

(3) $\tan \frac{2}{3} \pi$ の値を求めます。

(4) $\sec \frac{\pi}{4}$ の値を求めます。

(5) $\csc (-\frac{\pi}{3})$ の値を求めます。

(6) $\cot \frac{\pi}{6}$ の値を求めます。

(7) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$\cot \theta$ の値を求めます。

(8) $\sin(x+h) - \sin x$ を三角関数の積の形で表します。

(9) $\cos(x+h) - \cos x$ を三角関数の積の形で表します。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{3}{4} \pi = \sin (\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\cos \frac{7}{6} \pi = \cos (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \frac{2}{3} \pi = \tan (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

(4) $\sec \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(5) $\csc (-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sin (-\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{-\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(6) $\cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$

(7) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos (-\frac{\pi}{3})}{\sin (-\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(8) 和積の公式より、

$\sin(x+h) - \sin x = 2 \cos(\frac{x+h+x}{2}) \sin(\frac{x+h-x}{2}) = 2 \cos(x+\frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$

(9) 和積の公式より、

$\cos(x+h) - \cos x = -2 \sin(\frac{x+h+x}{2}) \sin(\frac{x+h-x}{2}) = -2 \sin(x+\frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $-\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{2}$

(5) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(6) $\sqrt{3}$

(7) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

(8) $2 \cos(x+\frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$

(9) $-2 \sin(x+\frac{h}{2}) \sin(\frac{h}{2})$