曲線 $C: y = \sqrt{x-1}$ が与えられている。 (1) 曲線Cに引いた接線のうち、原点を通る接線lの方程式を求める。 (2) 曲線C、接線l、およびx軸で囲まれる図形Sをx軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_1$ を求める。 (3) 図形Sをy軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_2$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = \sqrt{x-1}$ が与えられている。

(1) 曲線Cに引いた接線のうち、原点を通る接線lの方程式を求める。

(2) 曲線C、接線l、およびx軸で囲まれる図形Sをx軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_1$ を求める。

(3) 図形Sをy軸の周りに1回転させて得られる立体の体積 $V_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = \sqrt{x-1}$ 上の点 $(t, \sqrt{t-1})$ における接線を考える。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ なので、接線の方程式は

$y - \sqrt{t-1} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}(x-t)$

これが原点を通るので、

$-\sqrt{t-1} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}}(-t)$

$-2(t-1) = -t$

$-2t+2 = -t$

$t = 2$

よって、接点の座標は $(2, 1)$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2}$ である。

したがって、接線の方程式は $y = \frac{1}{2}x$ である。

(2)

$V_1$ は、$\int_1^2 \pi (\sqrt{x-1})^2 dx - \int_0^2 \pi (\frac{1}{2}x)^2 dx$ で計算できる。

$V_1 = \pi \int_1^2 (x-1)dx - \pi \int_0^2 \frac{1}{4}x^2 dx$

$V_1 = \pi [\frac{1}{2}x^2 - x]_1^2 - \frac{\pi}{4} [\frac{1}{3}x^3]_0^2$

$V_1 = \pi [(2-2) - (\frac{1}{2}-1)] - \frac{\pi}{4} (\frac{8}{3})$

$V_1 = \pi [\frac{1}{2}] - \frac{2\pi}{3}$

$V_1 = \frac{3\pi - 4\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

$V_1$ は体積なので正の値を取る必要があるので、積分区間に注意する。

正しくは、$\int_1^2 \pi (\sqrt{x-1})^2 dx - \int_0^2 \pi (\frac{1}{2}x)^2 dx$ であり、

$\frac{V_1}{\pi} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3-4}{6} = -\frac{1}{6}$

図形的考察から $x=2$のとき、$y=1$である。$y = \sqrt{x-1}$ と $y=\frac{1}{2}x$で囲まれる面積をx軸周りに回転させるので、

$V_1 = \int_1^2 \pi(\sqrt{x-1})^2dx - \int_0^2 \pi(\frac{1}{2}x)^2dx = \pi [\frac{x^2}{2}-x]_1^2 - \pi [\frac{x^3}{12}]_0^2 = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$

したがって $\frac{V_1}{\pi} = |\frac{-1}{6}| = \frac{1}{6}$。

(3)

$V_2$ を求める。$y = \sqrt{x-1}$ を $x$ について解くと $x = y^2+1$。$y = \frac{1}{2}x$ を $x$ について解くと $x = 2y$。

$V_2 = 2\pi \int_0^1 x(f(x) - g(x)) dx = 2\pi \int_0^1 x(\sqrt{x-1} - \frac{1}{2}x)dx$

回転体の体積の公式より

$V_2 = \int_0^1 2 \pi x (f(x)-g(x))dx$

$V_2 = \int_0^1 2 \pi [2y-(y^2+1)] ydy = 2\pi \int_0^1 [2y-(y^2+1)]dy$.

$V_2 = 2\pi \int_0^1 (2y^2-(y^2+1) \ dy = 2 \pi [\frac{1}{2} (2y)^2 - (y^2+1) \ dy] = \pi \int_0^1 2 (y^2-1) \sqrt{y} dx$

$x=y^2+1$と、$x=2y$

$V_2 = \int_0^1 \pi (2y)^2 dy - \int_0^1 \pi(y^2+1)^2dy= \int_0^1 \pi[4y^2-(y^4+2y^2+1)]dy$

$V_2 = \pi \int_0^1 (-y^4 + 2y^2 - 1)dy = \pi [ -\frac{y^5}{5} + \frac{2y^3}{3} - y]_0^1 = \pi(-\frac{1}{5} + \frac{2}{3} -1) = \pi(\frac{-3+10-15}{15}) = -\frac{8 \pi}{15} \to 体積は正なので|\frac{-8 \pi}{15}|$。

したがって$\frac{V_2}{\pi} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x$

(2) $\frac{V_1}{\pi} = \frac{1}{6}$

(3) $\frac{V_2}{\pi} = \frac{8}{15}$