空欄にあてはまる数値、数式、または言葉を答える問題です。 (1) 3次関数 $f(x) = x^3 - 4x - 2$ について、$f(-1)$ と $f(3)$ の値を求め、連続関数 $f(x)$ にどの定理を適用できるか、また、$f(x) = 0$ の最大の実数解 $\alpha$ が満たす $n < \alpha < n+1$ の整数 $n$ を求めます。 (2) 対数関数 $\log x$ について、閉区間 $[1, 2]$ での平均値の定理を適用したときの式と不等式を求めます。また、逆三角関数 $\tan^{-1}x$ について、閉区間 $[0, \sqrt{3}]$ での平均値の定理を適用したときの式と不等式を求めます。

1. 問題の内容

空欄にあてはまる数値、数式、または言葉を答える問題です。

(1) 3次関数 $f(x) = x^3 - 4x - 2$ について、$f(-1)$ と $f(3)$ の値を求め、連続関数 $f(x)$ にどの定理を適用できるか、また、$f(x) = 0$ の最大の実数解 $\alpha$ が満たす $n < \alpha < n+1$ の整数 $n$ を求めます。

(2) 対数関数 $\log x$ について、閉区間 $[1, 2]$ での平均値の定理を適用したときの式と不等式を求めます。また、逆三角関数 $\tan^{-1}x$ について、閉区間 $[0, \sqrt{3}]$ での平均値の定理を適用したときの式と不等式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $f(x) = x^3 - 4x - 2$ に $x = -1$ を代入して、$f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 4(-1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$

* $f(x) = x^3 - 4x - 2$ に $x = 3$ を代入して、$f(3)$ を計算します。

$f(3) = (3)^3 - 4(3) - 2 = 27 - 12 - 2 = 13$

* 連続関数 $f(x)$ は、$f(-1) = 1 > 0$ かつ $f(3) = 13 > 0$ なので、中間値の定理を適用するためには、$f(x) < 0$ となる $x$ の値を見つける必要があります。

$f(0) = -2 < 0$ より、$f(x)$ は区間 $[-1, 0]$ に少なくとも1つの実数解を持ちます。

$f(2) = 2^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2 < 0$

$f(2.5) = (2.5)^3 - 4(2.5) - 2 = 15.625 - 10 - 2 = 3.625 > 0$

$f(x)$ は区間 $[2, 2.5]$ に少なくとも1つの実数解を持ちます。

最大の実数解 $\alpha$ は、$2 < \alpha < 2.5 < 3$ を満たすので、$n = 2$ です。

* 連続関数$f(x)$に中間値の定理を適用できます。

(2)

* 関数 $f(x) = \log x$ について、区間 $[1, 2]$ で平均値の定理を適用すると、

$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = f'(a)$ を満たす $a$ が $1 < a < 2$ に存在します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$ なので、

$\frac{\log 2 - \log 1}{2 - 1} = \frac{\log 2 - 0}{1} = \log 2 = \frac{1}{a}$

$a \log 2 = 1$ となる $a$ が存在します。

また、$1 < a < 2$ です。

* 関数 $g(x) = \tan^{-1}x$ について、区間 $[0, \sqrt{3}]$ で平均値の定理を適用すると、

$\frac{g(\sqrt{3}) - g(0)}{\sqrt{3} - 0} = g'(b)$ を満たす $b$ が $0 < b < \sqrt{3}$ に存在します。

$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ なので、

$\frac{\tan^{-1}\sqrt{3} - \tan^{-1}0}{\sqrt{3} - 0} = \frac{\frac{\pi}{3} - 0}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{1 + b^2}$

$\pi (1 + b^2) = 3\sqrt{3}$ となる $b$ が存在します。

また、$0 < b < \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) あ: 1

い: 13

う: 中間値

え: 2

(2) お: 1

か: 2

き: $3\sqrt{3}$