座標平面上を運動する点Pの時刻 $t$ ($t \geq 0$) における座標 $(x, y)$ が $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で表されているとき、以下の問いに答える。 (1) 時刻 $t = \pi$ における点Pの速さを求める。 (2) 点Pが $t = 0$ から $t = \pi$ までの間に動いた道のりを求める。 (3) 点Pの加速度を求める。

1. 問題の内容

座標平面上を運動する点Pの時刻 $t$ ($t \geq 0$) における座標 $(x, y)$ が $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で表されているとき、以下の問いに答える。

(1) 時刻 $t = \pi$ における点Pの速さを求める。

(2) 点Pが $t = 0$ から $t = \pi$ までの間に動いた道のりを求める。

(3) 点Pの加速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ における速度ベクトルを $\vec{v}(t)$ とする。

$x = t - \sin t$ より、$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$

$y = 1 - \cos t$ より、$\frac{dy}{dt} = \sin t$

したがって、$\vec{v}(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right) = (1 - \cos t, \sin t)$

時刻 $t = \pi$ における速度ベクトルは $\vec{v}(\pi) = (1 - \cos \pi, \sin \pi) = (1 - (-1), 0) = (2, 0)$

時刻 $t = \pi$ における点Pの速さは $|\vec{v}(\pi)| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

(2) 時刻 $t = 0$ から $t = \pi$ までの間に動いた道のり $L$ は、

$L = \int_0^\pi |\vec{v}(t)| dt = \int_0^\pi \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2} dt$

$= \int_0^\pi \sqrt{1 - 2 \cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} dt = \int_0^\pi \sqrt{2 - 2 \cos t} dt$

$= \int_0^\pi \sqrt{2(1 - \cos t)} dt = \int_0^\pi \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \frac{t}{2}} dt = \int_0^\pi \sqrt{4 \sin^2 \frac{t}{2}} dt$

$= \int_0^\pi 2 \left| \sin \frac{t}{2} \right| dt = \int_0^\pi 2 \sin \frac{t}{2} dt \quad (\because 0 \leq t \leq \pi \text{ のとき } \sin \frac{t}{2} \geq 0)$

$= 2 \left[ -2 \cos \frac{t}{2} \right]_0^\pi = -4 \left( \cos \frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = -4 (0 - 1) = 4$

(3) 時刻 $t$ における加速度ベクトルを $\vec{a}(t)$ とする。

$\vec{v}(t) = (1 - \cos t, \sin t)$ より、

$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

$\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

したがって、$\vec{a}(t) = \left( \frac{d^2 x}{dt^2}, \frac{d^2 y}{dt^2} \right) = (\sin t, \cos t)$

加速度の大きさは $|\vec{a}(t)| = \sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 時刻 $t = \pi$ における点Pの速さは 2

(2) 点Pが $t = 0$ から $t = \pi$ までの間に動いた道のりは 4

(3) 加速度はつねに 1