与えられた式 $y = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ を、一つの三角関数で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $y = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ を、一つの三角関数で表す問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。一般に、$a \sin x + b \cos x = r \sin(x + \alpha)$ と表すことができます。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$, $\sin \alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ を見つけます。

今回の問題では、$a = \frac{1}{2}$、$b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

まず、$r$ を計算します。

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$

次に、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ を計算します。

$\cos \alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{b}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ (60度) です。

したがって、$y = 1 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{3})$ と表せます。

3. 最終的な答え

$y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$