(1) 変数変換 $u = xy$、$v = \frac{y}{x^2}$ に対するヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ を求める。 (2) 重積分 $\iint_D (x^6 + y^6) dxdy$ を領域 $D = \{(x, y) | 1 \le xy \le 2, x^2 \le y \le 2x^2\}$ に対して求める。

1. 問題の内容

(1) 変数変換 $u = xy$、$v = \frac{y}{x^2}$ に対するヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ を求める。

(2) 重積分 $\iint_D (x^6 + y^6) dxdy$ を領域 $D = \{(x, y) | 1 \le xy \le 2, x^2 \le y \le 2x^2\}$ に対して求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}$を計算する。

$u = xy$ より $\frac{\partial u}{\partial x} = y$, $\frac{\partial u}{\partial y} = x$。

$v = \frac{y}{x^2}$ より $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{2y}{x^3}$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{x^2}$。

よって、

$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y & x \\ -\frac{2y}{x^3} & \frac{1}{x^2} \end{vmatrix} = y \cdot \frac{1}{x^2} - x \cdot (-\frac{2y}{x^3}) = \frac{y}{x^2} + \frac{2y}{x^2} = \frac{3y}{x^2} = 3v$。

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}}$であるから、$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{3v}$。

(2)

変数変換 $u = xy$、$v = \frac{y}{x^2}$ を行う。

$1 \le u \le 2$ かつ $1 \le v \le 2$。

$x^6 + y^6 = x^6 + (vx^2)^6 = x^6 + v^6 x^{12} = x^6(1+v^6x^6)$.

$u = xy$、$v = \frac{y}{x^2}$ から $y = vx^2$なので、$u = x(vx^2) = vx^3$, よって、$x = (\frac{u}{v})^{1/3}$.

$x^6 = (\frac{u}{v})^2$

よって、$x^6 + y^6 = (\frac{u}{v})^2 + v^6 (\frac{u}{v})^4 = (\frac{u}{v})^2 (1 + v^6 (\frac{u}{v})^2) = (\frac{u}{v})^2(1+v^4u^2)$.

重積分は

$\iint_D (x^6 + y^6) dxdy = \int_1^2 \int_1^2 (\frac{u}{v})^2(1+v^4u^2) |\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}| dudv = \int_1^2 \int_1^2 (\frac{u}{v})^2(1+v^4u^2) \frac{1}{3v} dudv = \frac{1}{3} \int_1^2 \int_1^2 (\frac{u^2}{v^3} + u^4 v) dudv$

$= \frac{1}{3} \int_1^2 [\frac{u^3}{3v^3} + \frac{u^5 v}{5}]_1^2 dv = \frac{1}{3} \int_1^2 (\frac{8}{3v^3} - \frac{1}{3v^3} + \frac{32v}{5} - \frac{v}{5}) dv = \frac{1}{3} \int_1^2 (\frac{7}{3v^3} + \frac{31v}{5}) dv$

$= \frac{1}{3} [-\frac{7}{6v^2} + \frac{31v^2}{10}]_1^2 = \frac{1}{3} [-\frac{7}{24} + \frac{31\cdot 4}{10} + \frac{7}{6} - \frac{31}{10}] = \frac{1}{3} [-\frac{7}{24} + \frac{124}{10} + \frac{28}{24} - \frac{31}{10}] = \frac{1}{3} [\frac{21}{24} + \frac{93}{10}] = \frac{1}{3} [\frac{7}{8} + \frac{93}{10}] = \frac{1}{3} [\frac{35+372}{40}] = \frac{1}{3} \cdot \frac{407}{40} = \frac{407}{120}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{3v}$

(2) $\iint_D (x^6 + y^6) dxdy = \frac{407}{120}$