広義積分 (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ がそれぞれ収束するかどうかを判定条件を用いて調べる。

1. 問題の内容

広義積分

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$

がそれぞれ収束するかどうかを判定条件を用いて調べる。

2. 解き方の手順

(2) について

$x=0$ の近くで $\sin x \approx x$ なので、被積分関数は $x=0$ で特異性を持つ。そこで、$x=0$ の近傍での積分を考える。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ なので、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < x < \delta$ で $\frac{1}{2} < \frac{\sin x}{x} < \frac{3}{2}$ が成り立つ。

従って、$\frac{2}{3x} < \frac{1}{\sin x} < \frac{2}{x}$ が成り立つ。

広義積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\log x]_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{\epsilon \to 0} \log (\frac{\pi}{2}) - \log (\epsilon) = \infty$ となり、発散する。

比較定理より、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ も発散する。

(3) について

積分区間は $[0, \infty)$ なので、$x \to \infty$ での挙動を調べる。

$x$ が大きいとき、$\sqrt{x^3 + 1} \approx \sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$ となる。

そこで、広義積分 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^{R} x^{-\frac{3}{2}} dx = \lim_{R \to \infty} [-2x^{-\frac{1}{2}}]_1^R = \lim_{R \to \infty} -2R^{-\frac{1}{2}} - (-2) = 2$ となり、収束する。

従って、$\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ も収束する。

また、$\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は被積分関数が有界なので、収束する。

以上より、$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は収束する。

3. 最終的な答え

(2) 発散する

(3) 収束する