## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 線分ABを1:2に内分する点をC、2:1に外分する点をDとする。AB = 6 cm のとき、AC, BD, CDの長さを求める。

(2) 点Oは三角形ABCの外心である。角OBC = 35°、角OCA = 30°のとき、角OABの大きさをxとして、xを求める。

(3) 点Iは三角形ABCの内心である。角IBC = 28°、角ICB = 25°のとき、角BAIの大きさをxとして、xを求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 線分の内分点・外分点**

* ACの長さ:

Cは線分ABを1:2に内分するので、$AC = \frac{1}{1+2}AB = \frac{1}{3}AB$となる。

$AB = 6$ cmなので、$AC = \frac{1}{3} \times 6 = 2$ cm。

* BDの長さ:

Dは線分ABを2:1に外分するので、$AD = 2AB$である。

$BD = AD - AB = 2AB - AB = AB = 6$ cm。

* CDの長さ:

$CD = AD + AC = 2AB + \frac{1}{3}AB = (2 + \frac{1}{3})AB = \frac{7}{3}AB$となる。

$CD = \frac{7}{3} \times 6 = 14$ cm。

**(2) 外心**

* 外心は三角形の各辺の垂直二等分線の交点であり、外心から各頂点までの距離は等しい（外接円の半径）。

* したがって、三角形OBC、三角形OCA、三角形OABはそれぞれ二等辺三角形である。

* 角OBC = 35°なので、角OCB = 35°

* 角OCA = 30°なので、角OAC = 30°

* 三角形の内角の和は180°なので、三角形ABCにおいて、角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°

* 角ABC = 角OBC + 角OBA = 35° + x

* 角BCA = 角OCB + 角OCA = 35° + 30° = 65°

* 角CAB = 角OAC + 角OAB = 30° + x

* したがって、35° + x + 65° + 30° + x = 180°

* 2x + 130° = 180°

* 2x = 50°

* x = 25°

**(3) 内心**

* 内心は三角形の各内角の二等分線の交点である。

* したがって、AI、BI、CIはそれぞれ角A、角B、角Cの二等分線である。

* 角IBC = 28°なので、角ABC = 2 \* 28° = 56°

* 角ICB = 25°なので、角ACB = 2 \* 25° = 50°

* 三角形の内角の和は180°なので、三角形ABCにおいて、角ABC + 角BCA + 角CAB = 180°

* 56° + 50° + 角CAB = 180°

* 角CAB = 180° - 56° - 50° = 74°

* AIは角CABの二等分線なので、角BAI = 74°/2 = 37°

* したがって、x = 37°

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3. 最終的な答え

(1) AC = 2 cm, BD = 6 cm, CD = 14 cm

(2) x = 25 °

(3) x = 37 °