三角形ABCにおいて、以下の2つの等式が成り立つとき、それぞれの条件においてどのような三角形になるかを決定する問題です。 (1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$ (2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つの等式が成り立つとき、それぞれの条件においてどのような三角形になるかを決定する問題です。

(1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$

(2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

2. 解き方の手順

(1) $a \sin A + b \sin B = c \sin C$ の場合

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径) を用いて、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$と書き換えることができます。

元の式に代入すると、

$a \cdot \frac{a}{2R} + b \cdot \frac{b}{2R} = c \cdot \frac{c}{2R}$

$\frac{a^2}{2R} + \frac{b^2}{2R} = \frac{c^2}{2R}$

両辺に$2R$を掛けると、

$a^2 + b^2 = c^2$

これはピタゴラスの定理なので、$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形となります。

(2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$ の場合

余弦定理を用いて$\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ を書き換えます。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

これらを元の式に代入します。

$a \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + b \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = c \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

両辺に $2abc$ を掛けると、

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) + b^2(c^2 + a^2 - b^2) = c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 + b^2c^2 + a^2b^2 - b^4 = c^2a^2 + c^2b^2 - c^4$

$2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -c^4$

$a^4 + b^4 - c^4 - 2a^2b^2 = 0$

$(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2 - c^4 = 0$

$c^4 = 2a^2b^2 - a^4 - b^4$

$c^4 = - (a^4 + b^4 - 2a^2b^2)$

$c^4 = - (a^2 - b^2)^2$

$c^4 + (a^2 - b^2)^2 = 0$

$c^4 + (a^2 - b^2)^2 = 0$となるのは、 $a = b$ かつ $c = 0$ のときのみですが、三角形の辺の長さが0になることはないので、この式を満たす三角形は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) ABを斜辺とする直角三角形

(2) 存在しない