2つの平面 $kx + 2y - 3z + 4 = 0$ と $-9x + (k+2)y + z + 4 = 0$ が垂直となるような定数 $k$ の値を求めます。

はい、承知しました。問題文に記載された問題(2),(3),(4),(5)についてそれぞれ回答します。

**問題(2)**

1. 問題の内容

2つの平面 $kx + 2y - 3z + 4 = 0$ と $-9x + (k+2)y + z + 4 = 0$ が垂直となるような定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つの平面が垂直である条件は、それぞれの法線ベクトルの内積が0になることです。

平面 $ax+by+cz+d=0$ の法線ベクトルは $(a, b, c)$ で表されます。

したがって、それぞれの平面の法線ベクトルは $(k, 2, -3)$ と $(-9, k+2, 1)$ となります。

これらの内積が0となる条件は、

$k(-9) + 2(k+2) + (-3)(1) = 0$

$-9k + 2k + 4 - 3 = 0$

$-7k + 1 = 0$

$-7k = -1$

$k = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{1}{7}$

**問題(3)**

1. 問題の内容

点 $(1, -2, 2)$ と平面 $x - 3y - 5z + 1 = 0$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離 $D$ は、以下の公式で与えられます。

$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

この公式に、与えられた点と平面の値を代入します。

$x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = 2$, $a = 1$, $b = -3$, $c = -5$, $d = 1$

$D = \frac{|1(1) + (-3)(-2) + (-5)(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2}}$

$D = \frac{|1 + 6 - 10 + 1|}{\sqrt{1 + 9 + 25}}$

$D = \frac{|-2|}{\sqrt{35}}$

$D = \frac{2}{\sqrt{35}}$

$D = \frac{2\sqrt{35}}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{35}}{35}$

**問題(4)**

1. 問題の内容

点 $(2, 1, -9)$ を中心とする半径 $7$ の球の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

中心が $(a, b, c)$ で半径が $r$ の球の方程式は、以下の式で表されます。

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

与えられた中心と半径の値を代入します。

$a = 2$, $b = 1$, $c = -9$, $r = 7$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-9))^2 = 7^2$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 9)^2 = 49$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 9)^2 = 49$

**問題(5)**

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 2z = 0$ で表される球の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を、球の標準形である $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ に変形します。

そのため、平方完成を行います。

$(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 2z) = 0$

$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 2z + 1) = 16 + 4 + 1$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 21$

したがって、中心は $(-4, 2, 1)$ であり、半径は $\sqrt{21}$ です。

3. 最終的な答え

中心: $(-4, 2, 1)$, 半径: $\sqrt{21}$