$\triangle ABC$ において、次の等式が成り立つとき、どのような三角形か判定する問題です。 (1) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$ (2) $a\cos A + b\cos B = c\cos C$

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、次の等式が成り立つとき、どのような三角形か判定する問題です。

(1) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$

(2) $a\cos A + b\cos B = c\cos C$

2. 解き方の手順

(1) $a\sin A + b\sin B = c\sin C$ の場合

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ($R$は外接円の半径) が成り立つので、

$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$ となります。

これを元の式に代入すると、

$a\cdot\frac{a}{2R} + b\cdot\frac{b}{2R} = c\cdot\frac{c}{2R}$

両辺に $2R$ を掛けて、

$a^2 + b^2 = c^2$

したがって、これは三平方の定理を満たすので、$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形です。

(2) $a\cos A + b\cos B = c\cos C$ の場合

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

これらを元の式に代入すると、

$a\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + b\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} = c\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

両辺に $2abc$ を掛けて、

$a^2(b^2+c^2-a^2) + b^2(c^2+a^2-b^2) = c^2(a^2+b^2-c^2)$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 + b^2c^2 + a^2b^2 - b^4 = a^2c^2 + b^2c^2 - c^4$

$2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -c^4$

$c^4 = a^4 + b^4 - 2a^2b^2$

$c^4 = (a^2-b^2)^2$

$c^2 = |a^2-b^2|$

したがって、$c^2 = a^2 - b^2$ または $c^2 = b^2 - a^2$ となります。

$c^2 = a^2 - b^2$ のとき、$a^2 = b^2 + c^2$ より、$\angle B = 90^\circ$ の直角三角形です。

$c^2 = b^2 - a^2$ のとき、$b^2 = a^2 + c^2$ より、$\angle A = 90^\circ$ の直角三角形です。

または、$a=b$のとき、$c=0$となるので、不適です。

したがって、$\angle A = 90^\circ$ または $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形

(2) $\angle A = 90^\circ$ または $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形