$a=3$, $b=-2$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。 (1) $(2a+5b)^2 - 4a(a+5b)$ (2) $a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b - 3$

1. 問題の内容

$a=3$, $b=-2$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。

(1) $(2a+5b)^2 - 4a(a+5b)$

(2) $a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b - 3$

2. 解き方の手順

(1) $(2a+5b)^2 - 4a(a+5b)$

まず、式を展開します。

$(2a+5b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(5b) + (5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^2$

$4a(a+5b) = 4a^2 + 20ab$

したがって、

$(2a+5b)^2 - 4a(a+5b) = (4a^2 + 20ab + 25b^2) - (4a^2 + 20ab) = 25b^2$

$a=3$, $b=-2$ を代入します。

$25b^2 = 25(-2)^2 = 25(4) = 100$

(2) $a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b - 3$

式を因数分解します。

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

したがって、

$a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b - 3 = (a+b)^2 - 2(a+b) - 3$

$A = a+b$ とおくと、

$A^2 - 2A - 3 = (A-3)(A+1)$

$A$ を元に戻すと、

$(a+b-3)(a+b+1)$

$a=3$, $b=-2$ を代入します。

$(3 + (-2) - 3)(3 + (-2) + 1) = (1-3)(1+1) = (-2)(2) = -4$

3. 最終的な答え

(1) 100

(2) -4