与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す。ただし、$x, y, z$は実数とする。 (1) 複素数$a$の実部と虚部が共に正ならば、$a^2$の虚部は正である。 (2) $xy = xz$ かつ $x \neq 0$ ならば、$y=z$。 (3) $x < 2$ ならば、$x^2 < 4$。 (4) $x^2 = x$ ならば、$x = 1$。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す。ただし、$x, y, z$は実数とする。

(1) 複素数$a$の実部と虚部が共に正ならば、$a^2$の虚部は正である。

(2) $xy = xz$ かつ $x \neq 0$ ならば、$y=z$。

(3) $x < 2$ ならば、$x^2 < 4$。

(4) $x^2 = x$ ならば、$x = 1$。

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $a = p + qi$ （$p, q$ は実数）とする。実部と虚部が共に正であるという条件から、$p > 0$ かつ $q > 0$ である。このとき、

$a^2 = (p + qi)^2 = p^2 + 2pqi - q^2 = (p^2 - q^2) + 2pqi$

$a^2$ の虚部は $2pq$ であり、$p > 0$ かつ $q > 0$ より $2pq > 0$。したがって、$a^2$ の虚部は正である。

(2) $xy = xz$ かつ $x \neq 0$ より、$x(y-z) = 0$。$x \neq 0$ なので、$y-z = 0$。よって、$y = z$。

(3) $x < 2$ を満たす任意の $x$ に対して $x^2 < 4$ が成り立つかどうかを調べる。$x$が負の数の場合を考えると、例えば、$x = -3$ のとき、$x < 2$ を満たすが、$x^2 = (-3)^2 = 9 > 4$ となり、$x^2 < 4$ は成り立たない。

(4) $x^2 = x$ より、$x^2 - x = 0$。因数分解して、$x(x - 1) = 0$。よって、$x = 0$ または $x = 1$。したがって、$x^2 = x$ ならば $x = 1$ は偽である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 偽。反例: $x = -3$

(4) 偽。反例: $x = 0$