次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間を整理します。

$\int_{5}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{5}^{2} (12x^2+7) dx = 0$であるため、この二つの積分は相殺されます。

したがって、与えられた式は、

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx$

となります。

さらに、定積分の性質を利用して、積分区間をまとめます。

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx + \int_{2}^{-3} (12x^2+7) dx = \int_{-1}^{-3} (12x^2+7) dx$

もしくは、

$\int_{-1}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx = - \int_{2}^{-1} (12x^2+7) dx - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx$

$= - \int_{-3}^{2} (12x^2+7) dx - \int_{2}^{-1} (12x^2+7) dx$

$= - \int_{-3}^{-1} (12x^2+7) dx$

$= \int_{-1}^{-3} (12x^2+7) dx$

次に、積分を計算します。

$\int (12x^2+7) dx = 12 \int x^2 dx + 7 \int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

したがって、

$\int_{-1}^{-3} (12x^2+7) dx = [4x^3+7x]_{-1}^{-3} = (4(-3)^3+7(-3)) - (4(-1)^3+7(-1))$

$= (4(-27) - 21) - (4(-1)-7) = (-108-21) - (-4-7) = -129 - (-11) = -129 + 11 = -118$

3. 最終的な答え

-118