次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) \, dx + \int_{3}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) \, dx + \int_{3}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

$\int (3x^2 - 8x) \, dx = x^3 - 4x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) \, dx = [x^3 - 4x^2]_{1}^{3} = (3^3 - 4 \cdot 3^2) - (1^3 - 4 \cdot 1^2) = (27 - 36) - (1 - 4) = -9 - (-3) = -6$

$\int_{3}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx = [x^3 - 4x^2]_{3}^{5} = (5^3 - 4 \cdot 5^2) - (3^3 - 4 \cdot 3^2) = (125 - 100) - (27 - 36) = 25 - (-9) = 34$

したがって、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) \, dx + \int_{3}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx = -6 + 34 = 28$

あるいは、積分区間が連続していることを利用して、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) \, dx + \int_{3}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx = \int_{1}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx$

と変形できます。

$\int_{1}^{5} (3x^2 - 8x) \, dx = [x^3 - 4x^2]_{1}^{5} = (5^3 - 4 \cdot 5^2) - (1^3 - 4 \cdot 1^2) = (125 - 100) - (1 - 4) = 25 - (-3) = 28$

3. 最終的な答え

28