定積分 $\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{5} (6x^2 - 7) dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算

2025/4/4

1. 問題の内容

定積分

\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{5} (6x^2 - 7) dx

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx

したがって、

\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{5} (6x^2 - 7) dx = \int_{1}^{5} (6x^2 - 7) dx

次に、不定積分を求めます。

\int (6x^2 - 7) dx = 6 \int x^2 dx - 7 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C = 2x^3 - 7x + C

ここで、

C

は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

\int_{1}^{5} (6x^2 - 7) dx = [2x^3 - 7x]_{1}^{5} = (2(5^3) - 7(5)) - (2(1^3) - 7(1))

= (2(125) - 35) - (2 - 7) = (250 - 35) - (-5) = 215 + 5 = 220

3. 最終的な答え

220

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