次の定積分を求めなさい。 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + \int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + \int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分をまとめます。

$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$ であるから、$\int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx = 0$ となります。

したがって、与えられた式は

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + \int_{3}^{3} (3x^2 - 8x) dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx + 0 = \int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx$

となります。

次に、積分を実行します。

$\int (3x^2 - 8x) dx = x^3 - 4x^2 + C$

したがって、

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 8x) dx = [x^3 - 4x^2]_{1}^{3} = (3^3 - 4 \cdot 3^2) - (1^3 - 4 \cdot 1^2) = (27 - 36) - (1 - 4) = -9 - (-3) = -9 + 3 = -6$

3. 最終的な答え

-6