長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cmの5本の棒があります。 (1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。 (2) 三角形は全部で何通りできますか。

1. 問題の内容

長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cmの5本の棒があります。

(1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。

(2) 三角形は全部で何通りできますか。

2. 解き方の手順

(1)

5本の棒から3本を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの問題なので、$_5C_3$ を計算します。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

したがって、3本の棒の選び方は10通りです。

(2)

三角形が作れる条件は、一番長い辺の長さが、他の2つの辺の長さの和よりも小さいことです。

選んだ3本の棒の長さをa, b, c (a < b < c) とすると、三角形が作れる条件は a + b > c です。

すべての組み合わせを列挙し、三角形が作れるかどうかを確認します。

1. 2, 3, 4 : 2 + 3 > 4 (5 > 4) -> 三角形を作れる

2. 2, 3, 5 : 2 + 3 > 5 (5 > 5) -> 三角形を作れない

3. 2, 3, 6 : 2 + 3 > 6 (5 > 6) -> 三角形を作れない

4. 2, 4, 5 : 2 + 4 > 5 (6 > 5) -> 三角形を作れる

5. 2, 4, 6 : 2 + 4 > 6 (6 > 6) -> 三角形を作れない

6. 2, 5, 6 : 2 + 5 > 6 (7 > 6) -> 三角形を作れる

7. 3, 4, 5 : 3 + 4 > 5 (7 > 5) -> 三角形を作れる

8. 3, 4, 6 : 3 + 4 > 6 (7 > 6) -> 三角形を作れる

9. 3, 5, 6 : 3 + 5 > 6 (8 > 6) -> 三角形を作れる

1

0. 4, 5, 6 : 4 + 5 > 6 (9 > 6) -> 三角形を作れる

したがって、三角形を作れるのは7通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 7通り