次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

次に、$S$ に 2 をかけた $2S$ を、$S$ の各項を一つずつずらして書きます。

$2S = \phantom{1 \cdot 1 +} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n)$

$-S = 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 2 + (3-2) \cdot 2^2 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ は初項 1、公比 2、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

したがって、

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S = -2^n + 1 + n \cdot 2^n$

$S = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$