問題は、根号を含む式の計算公式の4番目と5番目の公式を証明することです。 公式4：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (ただし、$a > 0, b > 0$) 公式5：$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$ (ただし、$a > 0, k > 0$)

1. 問題の内容

問題は、根号を含む式の計算公式の4番目と5番目の公式を証明することです。

公式4：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (ただし、$a > 0, b > 0$)

公式5：$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$ (ただし、$a > 0, k > 0$)

2. 解き方の手順

**公式4の証明**

まず、$\sqrt{\frac{a}{b}}$が正であることを確認します。$a > 0$かつ$b > 0$より、$\frac{a}{b} > 0$なので、$\sqrt{\frac{a}{b}} > 0$です。

次に、$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2$を計算します。

$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$

同様に、$(\sqrt{\frac{a}{b}})^2$を計算します。

$(\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = \frac{a}{b}$

したがって、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ は $\frac{a}{b}$ の正の平方根であるため、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$が成り立ちます。

**公式5の証明**

まず、$k\sqrt{a}$が正であることを確認します。$k > 0$かつ$a > 0$より、$\sqrt{a} > 0$なので、$k\sqrt{a} > 0$です。

次に、$(\sqrt{k^2 a})^2$を計算します。

$(\sqrt{k^2 a})^2 = k^2 a$

同様に、$(k\sqrt{a})^2$を計算します。

$(k\sqrt{a})^2 = k^2 (\sqrt{a})^2 = k^2 a$

したがって、$\sqrt{k^2 a}$は$k^2 a$の正の平方根であるため、$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

公式4：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (証明済み)

公式5：$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$ (証明済み)