与えられた6つの式を計算する問題です。これらの式は、平方根を含む加減乗除、および展開を含んでいます。

1. 問題の内容

与えられた6つの式を計算する問題です。これらの式は、平方根を含む加減乗除、および展開を含んでいます。

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{125}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$

$2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = (2+3-5)\sqrt{5} = 0\sqrt{5} = 0$

(2) $\sqrt{48} + \sqrt{32} - \sqrt{27} - \sqrt{50}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

$4\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2} = (4-3)\sqrt{3} + (4-5)\sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $(2\sqrt{3} - 5\sqrt{2})(3\sqrt{2} + \sqrt{3})$

展開すると、

$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 5\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{6} + 6 - 30 - 5\sqrt{6} = \sqrt{6} - 24$

(4) $(2\sqrt{6} - \sqrt{18})(\sqrt{6} + 3\sqrt{8})$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$(2\sqrt{6} - 3\sqrt{2})(\sqrt{6} + 6\sqrt{2})$

展開すると、

$2\sqrt{6} \times \sqrt{6} + 2\sqrt{6} \times 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} - 3\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = 12 + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 36 = -24 + 9\sqrt{3}$

(5) $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$

展開すると、

$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 3 = 6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

(6) $(2 - \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 - \sqrt{3} - \sqrt{7})$

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$の公式を利用する。ここで、$A = 2 - \sqrt{3}, B = \sqrt{7}$

$(2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 - 4\sqrt{3} + 3) - 7 = 7 - 4\sqrt{3} - 7 = -4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{6} - 24$

(4) $-24 + 9\sqrt{3}$

(5) $6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

(6) $-4\sqrt{3}$