与えられた等式 $\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)}$

次に、分子を整理します。

$a(x+2) + b(x+1) = ax + 2a + bx + b = (a+b)x + (2a+b)$

したがって、与えられた等式は次のようになります。

$\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(a+b)x + (2a+b)}{(x+1)(x+2)}$

この等式が恒等式であるためには、分子が等しくなければなりません。

$2x - 1 = (a+b)x + (2a+b)$

したがって、次の連立方程式が得られます。

$a + b = 2$

$2a + b = -1$

この連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、次のようになります。

$(2a+b) - (a+b) = -1 - 2$

$a = -3$

これを $a+b=2$ に代入すると、次のようになります。

$-3 + b = 2$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 5$