ベクトル $\vec{a} = (2, x)$ と $\vec{b} = (x+1, 3)$ が与えられている。 (1) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定める。 (2) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を定める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, x)$ と $\vec{b} = (x+1, 3)$ が与えられている。

(1) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定める。

(2) $2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ を計算する。

$2\vec{a} + \vec{b} = 2(2, x) + (x+1, 3) = (4, 2x) + (x+1, 3) = (x+5, 2x+3)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (2, x) - 2(x+1, 3) = (2, x) - (2x+2, 6) = (-2x, x-6)$

$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が垂直であるとき、それらの内積は0になる。

$(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = (x+5)(-2x) + (2x+3)(x-6) = 0$

$-2x^2 - 10x + 2x^2 - 12x + 3x - 18 = 0$

$-19x - 18 = 0$

$-19x = 18$

$x = -\frac{18}{19}$

(2)

$2\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - 2\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ が存在して、$2\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - 2\vec{b})$ となる。

$(x+5, 2x+3) = k(-2x, x-6)$

$x+5 = -2kx$

$2x+3 = k(x-6)$

$k = \frac{x+5}{-2x}$

$2x+3 = \frac{x+5}{-2x}(x-6)$

$-2x(2x+3) = (x+5)(x-6)$

$-4x^2 - 6x = x^2 - x - 30$

$5x^2 + 5x - 30 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3$ または $x = 2$

$x = -3$ のとき、$\vec{a} = (2, -3), \vec{b} = (-2, 3)$

$2\vec{a} + \vec{b} = (4, -6) + (-2, 3) = (2, -3)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (2, -3) - (-4, 6) = (6, -9)$

$(2, -3) = \frac{1}{3}(6, -9)$ となり、平行。

$x = 2$ のとき、$\vec{a} = (2, 2), \vec{b} = (3, 3)$

$2\vec{a} + \vec{b} = (4, 4) + (3, 3) = (7, 7)$

$\vec{a} - 2\vec{b} = (2, 2) - (6, 6) = (-4, -4)$

$(7, 7) = -\frac{7}{4}(-4, -4)$ となり、平行。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{18}{19}$

(2) $x = -3, 2$