$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{31-\frac{n}{2}}$ の値が自然数となるような $n$ は全部でいくつあるか。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{31-\frac{n}{2}}$ の値が自然数となるような $n$ は全部でいくつあるか。

2. 解き方の手順

$\sqrt{31 - \frac{n}{2}}$ が自然数となるので、この値を $k$ と置くと、$k$ も自然数である。

$\sqrt{31 - \frac{n}{2}} = k$

両辺を2乗して、

$31 - \frac{n}{2} = k^2$

$\frac{n}{2} = 31 - k^2$

$n = 2(31 - k^2)$

$n$ は自然数なので、$2(31 - k^2) > 0$。

$31 - k^2 > 0$

$k^2 < 31$

$k$ は自然数なので、$k$ は $1, 2, 3, 4, 5$ のいずれかの値を取る。

また、$n$ が自然数であるためには、$31 - k^2$ は自然数である必要がある。これは、$k$ が上記の値をいずれかをとるとき、満たされる。

$k=1$ のとき、$n = 2(31 - 1^2) = 2(30) = 60$

$k=2$ のとき、$n = 2(31 - 2^2) = 2(31-4) = 2(27) = 54$

$k=3$ のとき、$n = 2(31 - 3^2) = 2(31-9) = 2(22) = 44$

$k=4$ のとき、$n = 2(31 - 4^2) = 2(31-16) = 2(15) = 30$

$k=5$ のとき、$n = 2(31 - 5^2) = 2(31-25) = 2(6) = 12$

したがって、$n$ は $60, 54, 44, 30, 12$ の5つの値を取りうる。

3. 最終的な答え

5個