$x>0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。 (1) $x + \frac{4}{x} \ge 4$ (2) $(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) \ge 9$

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めよ。

(1) $x + \frac{4}{x} \ge 4$

(2) $(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) \ge 9$

2. 解き方の手順

(1)

$x + \frac{4}{x} \ge 4$ を証明する。

$x>0$ より、$x$ を両辺にかけると、

$x^2 + 4 \ge 4x$

$x^2 - 4x + 4 \ge 0$

$(x - 2)^2 \ge 0$

これは常に成り立つ。

等号が成り立つのは $x - 2 = 0$、つまり $x = 2$ のときである。

(2)

$(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) \ge 9$ を証明する。

左辺を展開すると、

$x^2 + 4 + 1 + \frac{4}{x^2} = x^2 + \frac{4}{x^2} + 5$

したがって、$x^2 + \frac{4}{x^2} + 5 \ge 9$ を示せばよい。

$x^2 + \frac{4}{x^2} \ge 4$ を示せばよい。

$x^2 > 0$ であるから、相加相乗平均の関係より、

$x^2 + \frac{4}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{4}{x^2}} = 2\sqrt{4} = 4$

したがって、$x^2 + \frac{4}{x^2} + 5 \ge 4 + 5 = 9$

よって、$(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) \ge 9$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x^2 = \frac{4}{x^2}$ のとき、つまり $x^4 = 4$

$x>0$ より、$x = \sqrt{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $x + \frac{4}{x} \ge 4$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x = 2$ のとき。

(2) 不等式 $(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) \ge 9$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x = \sqrt{2}$ のとき。