与えられた問題は3つの小問から構成されています。 (1) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 48 \geq 0$ の解を、選択肢の中から選びます。 (2) 2次不等式 $x^2 - 6x + a + 5 > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $a$ の範囲を求めます。 (3) 2次方程式 $x^2 + 5 = |10x - 20|$ の異なる実数解の個数と、そのうち最も大きい解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つの小問から構成されています。

(1) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 48 \geq 0$ の解を、選択肢の中から選びます。

(2) 2次不等式 $x^2 - 6x + a + 5 > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $a$ の範囲を求めます。

(3) 2次方程式 $x^2 + 5 = |10x - 20|$ の異なる実数解の個数と、そのうち最も大きい解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式 $2x^2 + 4x - 48 \geq 0$ を解きます。

まず、両辺を2で割ると、 $x^2 + 2x - 24 \geq 0$ となります。

次に、左辺を因数分解すると、 $(x + 6)(x - 4) \geq 0$ となります。

したがって、$x \leq -6$ または $x \geq 4$ となります。選択肢の中からこれに一致するものを探すと、④となります。

(2) 2次不等式 $x^2 - 6x + a + 5 > 0$ の解がすべての実数となる条件は、判別式 $D < 0$ です。

$D = (-6)^2 - 4(1)(a + 5) = 36 - 4a - 20 = 16 - 4a < 0$

これを解くと、$4a > 16$ より $a > 4$ となります。

(3) 2次方程式 $x^2 + 5 = |10x - 20|$ を解きます。絶対値記号があるので、場合分けをします。

(i) $10x - 20 \geq 0$ 、つまり $x \geq 2$ のとき、$x^2 + 5 = 10x - 20$ となります。

これを整理すると、$x^2 - 10x + 25 = 0$ となり、 $(x - 5)^2 = 0$ となります。

したがって、$x = 5$ となります。これは $x \geq 2$ を満たします。

(ii) $10x - 20 < 0$ 、つまり $x < 2$ のとき、$x^2 + 5 = -(10x - 20) = -10x + 20$ となります。

これを整理すると、$x^2 + 10x - 15 = 0$ となります。

解の公式より、$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{-10 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{10}$ となります。

$x = -5 + 2\sqrt{10} \approx -5 + 2(3.16) = -5 + 6.32 = 1.32 < 2$ なので、これは解として適切です。

$x = -5 - 2\sqrt{10} \approx -5 - 6.32 = -11.32 < 2$ なので、これも解として適切です。

異なる実数解は3個で、$5$, $-5 + 2\sqrt{10}$, $-5 - 2\sqrt{10}$。

最大の解は$5$です。

3. 最終的な答え

(1) ア：④

(2) イ：4

(3) ウ：3, エ：5