与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの等式について解きます。 (1) $a(x+2) + b(x-2) = 2x + 8$ (2) $x^2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ (3) $x^3 = ax(x+1)(x+2) + bx(x+1) + cx + d$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの等式について解きます。

(1) $a(x+2) + b(x-2) = 2x + 8$

(2) $x^2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

(3) $x^3 = ax(x+1)(x+2) + bx(x+1) + cx + d$

2. 解き方の手順

(1) $a(x+2) + b(x-2) = 2x + 8$

左辺を展開し整理します。

$ax + 2a + bx - 2b = (a+b)x + (2a-2b)$

これが $2x+8$ と恒等的に等しいので、係数を比較します。

$a+b = 2$

$2a - 2b = 8$

2番目の式を2で割ると、

$a - b = 4$

$a+b = 2$ と $a-b = 4$ を連立して解きます。2つの式を足し合わせると、

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$ を $a+b = 2$ に代入すると、

$3 + b = 2$

$b = -1$

(2) $x^2 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

右辺を展開し整理します。

$a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 -2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

これが $x^2$ と恒等的に等しいので、係数を比較します。

$a = 1$

$-2a + b = 0$

$a - b + c = 0$

$a = 1$ を $-2a + b = 0$ に代入すると、

$-2(1) + b = 0$

$b = 2$

$a=1$ と $b=2$ を $a - b + c = 0$ に代入すると、

$1 - 2 + c = 0$

$-1 + c = 0$

$c = 1$

(3) $x^3 = ax(x+1)(x+2) + bx(x+1) + cx + d$

右辺を展開し整理します。

$ax(x^2 + 3x + 2) + bx(x+1) + cx + d = a(x^3 + 3x^2 + 2x) + b(x^2 + x) + cx + d = ax^3 + 3ax^2 + 2ax + bx^2 + bx + cx + d = ax^3 + (3a+b)x^2 + (2a+b+c)x + d$

これが $x^3$ と恒等的に等しいので、係数を比較します。

$a = 1$

$3a + b = 0$

$2a + b + c = 0$

$d = 0$

$a = 1$ を $3a + b = 0$ に代入すると、

$3(1) + b = 0$

$b = -3$

$a = 1$ と $b = -3$ を $2a + b + c = 0$ に代入すると、

$2(1) + (-3) + c = 0$

$2 - 3 + c = 0$

$-1 + c = 0$

$c = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=-1$

(2) $a=1$, $b=2$, $c=1$

(3) $a=1$, $b=-3$, $c=1$, $d=0$