$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{3a+2c}{3b+2d} = \frac{3a-2c}{3b-2d}$ が成り立つことを証明します。

## 問題23 (1)

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{3a+2c}{3b+2d} = \frac{3a-2c}{3b-2d}$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおきます。すると、$a = bk$、$c = dk$ と表せます。

次に、左辺と右辺にそれぞれ $a = bk$、$c = dk$を代入して計算し、両辺が等しくなることを示します。

左辺:

$\frac{3a+2c}{3b+2d} = \frac{3bk+2dk}{3b+2d} = \frac{(3b+2d)k}{3b+2d} = k$

右辺:

$\frac{3a-2c}{3b-2d} = \frac{3bk-2dk}{3b-2d} = \frac{(3b-2d)k}{3b-2d} = k$

したがって、$\frac{3a+2c}{3b+2d} = \frac{3a-2c}{3b-2d} = k$となり、両辺が等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{3a+2c}{3b+2d} = \frac{3a-2c}{3b-2d}$ は成り立つ。

## 問題23 (2)

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおきます。すると、$a = bk$、$c = dk$ と表せます。

次に、左辺と右辺にそれぞれ $a = bk$、$c = dk$を代入して計算し、両辺が等しくなることを示します。

左辺:

$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(bk)^2-b^2}{(bk)^2+b^2} = \frac{b^2k^2-b^2}{b^2k^2+b^2} = \frac{b^2(k^2-1)}{b^2(k^2+1)} = \frac{k^2-1}{k^2+1}$

右辺:

$\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2} = \frac{(dk)^2-d^2}{(dk)^2+d^2} = \frac{d^2k^2-d^2}{d^2k^2+d^2} = \frac{d^2(k^2-1)}{d^2(k^2+1)} = \frac{k^2-1}{k^2+1}$

したがって、$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2} = \frac{k^2-1}{k^2+1}$となり、両辺が等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}$ は成り立つ。

## 問題24

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{a}{b}$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ なので、$ad = bc$ が成り立ちます。この関係を使って、$\frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{a}{b}$ を変形していきます。

$\frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{a}{b}$の両辺に $(mb+nd)$ を掛けると、

$ma+nc = \frac{a}{b}(mb+nd)$

$ma+nc = ma + \frac{a}{b}nd$

$nc = \frac{a}{b}nd$

$\frac{c}{d} = \frac{a}{b}$

これは与えられた条件と同じなので、$\frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{a}{b}$ が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{a}{b}$ は成り立つ。