与えられた条件を満たす定数 $c$ の値を求める問題です。 (1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ ($ -2 \le x \le 0$) の最大値が $5$ である。 (2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($ 1 \le x \le 4$) の最小値が $ -7$ である。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす定数 $c$ の値を求める問題です。

(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ ($-2 \le x \le 0$) の最大値が $5$ である。

(2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が $-7$ である。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = x^2 - 2x + c$ を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 1 + c$

この関数の軸は $x = 1$ です。定義域 $-2 \le x \le 0$ において、軸は定義域の外にあります。

したがって、この範囲での最大値は、$x = -2$ のときにとります。

$x = -2$ を代入すると、

$y = (-2)^2 - 2(-2) + c = 4 + 4 + c = 8 + c$

最大値が $5$ であるから、

$8 + c = 5$

$c = 5 - 8$

$c = -3$

(2)

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

この関数の軸は $x = 3$ です。定義域 $1 \le x \le 4$ において、軸は定義域内にあります。上に凸のグラフなので、頂点で最大値をとり、最小値は定義域の端点でとります。

$x=1$のとき、$y=-1+6+c=5+c$

$x=4$のとき、$y=-16+24+c=8+c$

$x=1$のときに最小値をとるので、

$5+c = -7$

$c = -7 - 5$

$c = -12$

3. 最終的な答え

(1) $c = -3$

(2) $c = -12$