以下の2つの等式を証明します。 (1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ (2) $(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (ax + by)^2 - (ay + bx)^2$

## 問題の回答

1. 問題の内容

以下の2つの等式を証明します。

(1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (ax + by)^2 - (ay + bx)^2$

2. 解き方の手順

**(1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ の証明**

右辺を展開します。

```

(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = x^2(x^2 - x + 1) + x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1)

= x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1

= x^4 + x^2 + 1

```

したがって、左辺と右辺が等しいことが証明されました。

**(2) $(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (ax + by)^2 - (ay + bx)^2$ の証明**

まず、左辺を展開します。

```

(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = a^2x^2 - a^2y^2 - b^2x^2 + b^2y^2

```

次に、右辺を展開します。

```

(ax + by)^2 - (ay + bx)^2 = (a^2x^2 + 2axby + b^2y^2) - (a^2y^2 + 2aybx + b^2x^2)

= a^2x^2 + 2axby + b^2y^2 - a^2y^2 - 2axby - b^2x^2

= a^2x^2 - a^2y^2 - b^2x^2 + b^2y^2

```

左辺と右辺が等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ は成り立つ。

(2) $(a^2 - b^2)(x^2 - y^2) = (ax + by)^2 - (ay + bx)^2$ は成り立つ。