2桁の正の整数がある。その整数の一の位の数を6倍し、十の位の数を加えると24になる。また、一の位の数と十の位の数を入れ替えた整数は、元の整数より27小さい。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数がある。その整数の一の位の数を6倍し、十の位の数を加えると24になる。また、一の位の数と十の位の数を入れ替えた整数は、元の整数より27小さい。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とする。

元の整数は $10x + y$ と表せる。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

1. 一の位の数を6倍し、十の位の数を加えると24になる: $x + 6y = 24$

2. 一の位と十の位を入れ替えた整数は、元の整数より27小さい: $10y + x = 10x + y - 27$

2番目の式を整理する。

$10y + x = 10x + y - 27$

$9y - 9x = -27$

$y - x = -3$

$x = y + 3$

この式を1番目の式に代入する。

$(y + 3) + 6y = 24$

$7y + 3 = 24$

$7y = 21$

$y = 3$

$x = y + 3$ に $y = 3$ を代入すると、

$x = 3 + 3 = 6$

したがって、元の整数は $10x + y = 10 \times 6 + 3 = 63$ である。

3. 最終的な答え

63