問題6と7は、2重根号を外す問題です。問題6では、$\sqrt{10 + \sqrt{84}}$と$\sqrt{3 - \sqrt{5}}$をそれぞれ簡単にします。問題7では、$\sqrt{41 - 12\sqrt{5}}$を$a - \sqrt{b}$の形に変形し、$a$の値を求め、さらに$a + \frac{4}{b}$の値を求めます。ただし問題6の2つ目の式は分母の有理化も必要です。

## 回答

1. 問題の内容

問題6と7は、2重根号を外す問題です。問題6では、$\sqrt{10 + \sqrt{84}}$と$\sqrt{3 - \sqrt{5}}$をそれぞれ簡単にします。問題7では、$\sqrt{41 - 12\sqrt{5}}$を$a - \sqrt{b}$の形に変形し、$a$の値を求め、さらに$a + \frac{4}{b}$の値を求めます。ただし問題6の2つ目の式は分母の有理化も必要です。

2. 解き方の手順

問題6

* $\sqrt{10 + \sqrt{84}}$

* $\sqrt{84}$を$\sqrt{4 \times 21}$として、$2\sqrt{21}$に書き換えます。

* $\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}$という形になり、$10 = 7 + 3$かつ$21 = 7 \times 3$なので、

* $\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$

* $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

* $\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

* $6 = 5 + 1$かつ$5 = 5 \times 1$なので、$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$

* $\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - 1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

問題7

* $\sqrt{41 - 12\sqrt{5}}$

* $\sqrt{41 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{41 - 2\sqrt{36 \times 5}} = \sqrt{41 - 2\sqrt{180}}$

* $41 = 36 + 5$かつ$180 = 36 \times 5$なので、$\sqrt{41 - 2\sqrt{180}} = \sqrt{(\sqrt{36} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{(6 - \sqrt{5})^2} = 6 - \sqrt{5}$

* よって、$a = 6$、$b = 5$

* $a + \frac{4}{b}$

* $a + \frac{4}{b} = 6 + \frac{4}{5} = \frac{30}{5} + \frac{4}{5} = \frac{34}{5}$

3. 最終的な答え

問題6

* $\sqrt{10 + \sqrt{84}} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$

* $\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

問題7

* $\sqrt{41 - 12\sqrt{5}} = 6 - \sqrt{5}$

* $a = 6$

* $a + \frac{4}{b} = \frac{34}{5}$